あるタグ（jQueryオブジェクト）のクラス,IDを取得し表示

<div id="hoge" class="red big long" >テスト</div>
// そのタグが持つクラスを取得し表示
alert( $('div').attr('class') );
// そのタグが持つIDを取得し表示
alert( $('div').attr('id') );

複数のクラスを持つタグ（jQueryオブジェクト）を選択【AND検索】

<div class="foo bar">テスト</div>
// 間にスペースはいれない
$('.foo.bar')

// +をつかった書き方（こちらのほうが見やすいと思います）
$( '.foo' + '.bar' )

あるIDとあるクラスを持つタグ（jQueryオブジェクト）を選択【AND検索】

<div id="myID" class="myCLASS">テスト</div>
// +をつかって書く
$( '#myID' + '.myCLASS' )

あるクラスまたは別のあるクラス【OR検索】

<div id="myID" class="testA">テストA</div>
<div id="myID" class="testB">テストB</div>
// クラスの間にカンマをはさみます
$('.testA,.testB').each(function(){
    alert( $(this).attr('class') );
})