callback function を利用します。 thisを利用する場合はアロー関数で記述してthisを固定しましょう。

子コンポーネント

submit() {
    this.$emit('submit', () => this.closeDialog())
},

親コンポーネント

async submit(closeDialog) {
    await this.foo1();
    await this.foo2();
    closeDialog()
}

引用 : https://bit.ly/3b4iMEy